% WiGr 5: conversion of ../wg-s26/WiGr_5_Investition.pptx (44 slides). % Original wording, sequence and numerical examples retained where possible. % Dense tables split; all formulae and cash-flow diagrams are editable here. % Layout guidance: ../ee-26/ee-6-financial_management.tex. % Necessary numerical/conceptual corrections are documented at each frame. % Historical charts and assumed example costs are not current price forecasts. % Build from this directory: pdflatex wg-5-investitionen.tex (twice). \newcommand{\thistitle}{Folien 5: Investitionsrechnung} \input{title.tex} % Diagram modes: 0 original cash flows; 1 discounted cash flows; 2 annuitised cost. % Horizontal time spacing is schematic; CF and cost arrows have fixed scale. \newcommand{\wgzahlungsstrom}[1]{% \begin{tikzpicture}[x=.83cm,y=.7cm,font=\small,>=Stealth] \draw[->,thick] (-.35,0)--(7.5,0) node[right] {$t$}; \foreach \x/\t in {0/0,1/1,2/2,3/3,6/T}{\draw (\x,.08)--(\x,-.08) node[below] {$\t$};} \node at (4.5,-.25) {$\cdots$}; \foreach \x in {1,2,3,6}{\draw[->,very thick,blue!75!black] (\x,0)--(\x,1.4) node[above] {$CF$};} \ifnum#1<2 \draw[->,very thick,TUred] (0,0)--(0,-1.8) node[below] {$-I_0$}; \fi \ifnum#1=1 \foreach \x in {1,2,3,6}{\draw[->,black!45] (\x,1.8) to[bend right=15] (0,{2.15+.1*\x});} \draw[->,very thick,blue!75!black] (0,0)--(0,2.9) node[above left] {$PV$}; \fi \ifnum#1=2 \foreach \x in {1,2,3,6}{\draw[->,very thick,TUred] (\x,0)--(\x,-.9);} \node[below,text=TUred] at (3,-1.05) {$-I_0\,ANF_{i,T}$ je Jahr}; \fi \end{tikzpicture}} \newcommand{\wgzinskurven}[2]{% \begin{tikzpicture} \begin{axis}[width=#1,height=#2,xmin=0,xmax=40,ymin=0,ymax=1, xlabel={Zahlungszeitpunkt (Jahr)},ylabel={Barwertfaktor}, axis lines=left,xtick={0,10,20,30,40},ytick={0,.2,.4,.6,.8,1}, ymajorgrids,grid style={black!15},tick label style={font=\small}, legend style={draw=none,font=\small,at={(.97,.97)},anchor=north east}, domain=0:40,samples=100] \addplot[blue!75!black,very thick] {(1.02)^(-x)};\addlegendentry{$2\,\%$} \addplot[TUred,very thick] {(1.04)^(-x)};\addlegendentry{$4\,\%$} \addplot[orange!90!black,very thick,dashed] {(1.06)^(-x)};\addlegendentry{$6\,\%$} \addplot[black,very thick,dashdotted] {(1.10)^(-x)};\addlegendentry{$10\,\%$} \end{axis} \end{tikzpicture}} % Equal end-of-period payments accumulated to T (1) or discounted to 0 (0). \newcommand{\wgrente}[1]{% \begin{tikzpicture}[x=.85cm,y=.7cm,font=\small,>=Stealth] \draw[->,thick] (-.4,0)--(7,0) node[right] {$t$}; \foreach \x/\t in {0/0,1/1,2/2,3/3,6/T}{\draw (\x,.08)--(\x,-.08) node[below] {$\t$};} \node at (4.5,-.25) {$\cdots$}; \foreach \x in {1,2,3,4,5,6}{\draw[->,very thick,blue!75!black] (\x,0)--(\x,.8) node[above] {$g$};} \ifnum#1=1 \draw[->,very thick,TUred] (6.35,0)--(6.35,3.1) node[above] {$K_T$}; \foreach \x in {1,2,3,4,5}{\draw[->,black!50] (\x,1.2) to[bend left=18] (6.3,{3.1-.24*\x});} \else \draw[->,very thick,TUred] (0,0)--(0,3.1) node[above] {$K_0$}; \foreach \x in {1,2,3,4,5,6}{\draw[->,black!50] (\x,1.2) to[bend right=18] (0,{1.6+.24*\x});} \fi \end{tikzpicture}} \section{Grundlagen und Verfahren} % PPT 2 \begin{frame}{Investition: Fragen} \begin{itemize} \item Unter welchen Bedingungen lohnt es sich, Investitionen zu tätigen? \item Wie vergleichen wir Investitionskosten mit regelmäßigen Zahlungsflüssen (Cashflows)? \item Sollte Tesla eine neue Fabrik in Berlin errichten? Wird der Cashflow von den verkauften Autos die Investitionskosten ausgleichen? \item Wie vergleichen wir eine Investition in Fabrik A mit einer Investition in Fabrik B? \item Wie vergleichen wir eine Investition mit anderen Anlagemöglichkeiten (Aktien, Anleihen usw.)? \item Wie ändert sich das Bild, wenn wir eine Investition um 5 Jahre verschieben? \item Wie ändert sich der Wert von Geld mit der Zeit? \end{itemize} \end{frame} % PPT 3 \begin{frame}{Investitionen: Grundlagen} \begin{itemize} \item \alert{Allgemein:} Verfügbare Ressourcen (z.\,B. Zahlungsmittel) für einen bestimmten und auf die Zukunft gerichteten Zweck einsetzen \medskip \item \alert{Vermögensorientierter Investitionsbegriff:} Investitionen bedeuten eine langfristige Festlegung finanzieller Mittel (Aktivierung von Ausgaben in der Bilanz). \medskip \item \alert{Zahlungsstromorientierter Investitionsbegriff:} Zeitreihe von Cashflows, die mit negativen Werten (Auszahlungen) beginnt \medskip \item Merkmal von Investitionen: (teilweise) \alert{Irreversibilität} \end{itemize} \end{frame} % PPT 4 \begin{frame}{Arten von Investitionen} \begin{itemize} \item \textbf{Netto-Investitionen:} Neugründungen (Errichtungsinvestitionen) und Erweiterung der Geschäftsmöglichkeiten (Erweiterungsinvestitionen) \item \textbf{Ersatzinvestitionen:} Ersetzung einer älteren Maschine ohne Änderung der Kapazität; häufig zugleich Rationalisierung, da die neue Maschine besser funktioniert als die alte \item Summe aus Netto- und Ersatzinvestitionen ergibt \textbf{Bruttoinvestitionen}. \end{itemize} \begin{center} \begin{tikzpicture}[font=\small,box/.style={fill=TUred!10,align=center,minimum height=.6cm,text width=3.4cm}] \node[box] (b) at (0,0) {Bruttoinvestitionen}; \node[box] (n) at (-2.5,-1.05) {Netto-Investitionen}; \node[box] (e) at (3,-1.05) {Ersatzinvestitionen}; \node[box,text width=2.8cm] (er) at (-4.2,-2.15) {Errichtungs-\\investitionen}; \node[box,text width=2.8cm] (ew) at (-.8,-2.15) {Erweiterungs-\\investitionen}; \node[box,text width=3.5cm] (r) at (3,-2.15) {Rationalisierungs-\\investitionen}; \draw[thick] (b)--(n) (b)--(e) (n)--(er) (n)--(ew); \draw[thick,dashed] (e)--(r); \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} % PPT 5; retain financing cash-flow definition, distinguish project perspective. \begin{frame}{Investitionen: Zahlungsströme} Wir möchten eine Investition am Ende der 0. Periode $I_0$ mit den resultierenden Cashflows $CF_t$ (z.\,B. Erlös minus Kosten) in den folgenden Jahren vergleichen. \begin{columns}[c] \begin{column}{.48\textwidth}\small \begin{tabular}{@{}ll@{}} $t$ & Zeit (z.\,B. Jahre)\\ $T$ & Lebensdauer\\ $I_0$ & Investition am Anfang\\ $CF_t$ & Cashflow am Ende jeder Periode \end{tabular} \[ CF_t=pQ_t-V_t-B_t-Z_t \] \begin{tabular}{@{}ll@{}} $p,\ Q_t$ & Preis, verkaufte Menge\\ $V_t$ & Verbrauchskosten (variabel)\\ $B_t$ & Betriebskosten (oft fix)\\ $Z_t$ & Zinszahlungen \end{tabular} \end{column} \begin{column}{.49\textwidth}\centering\resizebox{\linewidth}{!}{\wgzahlungsstrom{0}}\end{column} \end{columns} \smallskip {\footnotesize Hier: Cashflow nach Zinszahlungen. Bei der späteren Bewertung des Gesamtprojekts werden Finanzierungskosten über den Kalkulationszins erfasst.} \end{frame} % PPT 6; "very precise" qualified: accuracy depends on forecasts. \begin{frame}{Verfahren der Investitionsrechnung} \begin{columns}[T] \begin{column}{.47\textwidth} \alert{Statische Verfahren} \begin{itemize} \item Bilden Durchschnittswerte für jährliche Ausgaben und Einnahmen \item Ignorieren den Zeitwert des Geldes \end{itemize} \textbf{Vorteil:} einfach; geringer Datenbeschaffungs- und Berechnungsaufwand \textbf{Nachteil:} berücksichtigen weder den zeitlichen Verlauf der Geldströme noch den Zeitwert des Geldes \end{column} \begin{column}{.47\textwidth} \alert{Dynamische Verfahren} \begin{itemize} \item Stellen die Geldströme über alle Jahre gegenüber \item Berücksichtigen den Zeitwert des Geldes \end{itemize} \textbf{Vorteil:} genauere zeitliche Abbildung \textbf{Nachteil:} aufwendiger, datenintensiv; abhängig von den Annahmen zu künftigen Zahlungen \end{column} \end{columns} \end{frame} % PPT 7 \begin{frame}{Verfahren der Investitionsrechnung: Überblick} \begin{columns}[T] \begin{column}{.48\textwidth}\small \alert{Statische Verfahren} \textbf{Kostenvergleichsrechnung}\\ Betriebs- und Verbrauchskosten + Kapitalkosten + kalkulatorische Abschreibungen = Jahreskosten \textbf{Gewinnvergleichsrechnung}\\ Umsatzerlöse minus Jahreskosten \textbf{Rentabilitätsrechnung}\\ $ROI=EBIT/\text{durchschnittliches Kapital}$ \textbf{Amortisationsrechnung}\\ Investition / durchschnittlicher Cashflow \end{column} \begin{column}{.46\textwidth}\small \alert{Dynamische Verfahren}\\ \emph{Time value of money} \textbf{Kapitalwertmethode}\\ $PV$ = Summe der diskontierten Cashflows; $NPV=PV-I_0>0$? \textbf{Annuitätenmethode}\\ Transformation einer Zahlungsreihe in eine Annuität \textbf{Interner Zinsfuß}\\ $IRR$ = Kalkulationszins, bei dem $NPV=0$ \end{column} \end{columns} \end{frame} \section{Statische Investitionsrechnung} % PPT 8; original uses 4% of initial investment (not 4% of average capital). % State this assumption explicitly rather than silently changing the table. \begin{frame}{Statische Verfahren: Kostenvergleichsrechnung} \small Berechnung der durchschnittlichen Jahreskosten für verschiedene Optionen; die zeitliche Änderung des Geldwerts wird nicht berücksichtigt. Beispiel: Elektroauto gegenüber Benziner; Lebensdauer $T=10$ Jahre, Restwert $R_T=0$, Zinskosten im Beispiel $Z_t=0{,}04\,I_0$. \begin{columns}[c] \begin{column}{.70\textwidth}\small\ra{1.2} \begin{tabularx}{\textwidth}{@{}Xrr@{}}\toprule \textbf{Beträge in \euro{}} & \textbf{Benziner} & \textbf{Elektroauto}\\\midrule Anschaffungskosten $I_0$ & 30.000 & 60.000\\ Jährliche Abschreibung $A_t$ & 3.000 & 6.000\\ Kapitalkosten (Zins) $Z_t$ & 1.200 & 2.400\\ Betriebskosten $B_t$ & 2.000 & 200\\ Verbrauchskosten $V_t$ & 4.000 & 1.000\\\midrule \textbf{Summe Jahreskosten} & \textbf{10.200} & \textbf{9.600}\\\bottomrule \end{tabularx} \end{column} \begin{column}{.25\textwidth} Jährliche Abschreibung: \[ A_t=\frac{I_0-R_T}{T} \] \end{column} \end{columns} \medskip \alert{Schlussfolgerung: Elektroauto kaufen!} \end{frame} % PPT 9 \begin{frame}{Statische Verfahren: Gewinnvergleichsrechnung} \small Neben den Kosten werden auch die erzielten Umsätze berücksichtigt: \[ \text{Gewinn}=\text{Umsatzerlös}-\text{Kosten} \] Beispiel: Taxifahrer:in kauft Elektroauto oder Benziner. Beide haben eine Lebensdauer von 10 Jahren und einen Restwert von null. \begin{center}\small\ra{1.2} \begin{tabular}{@{}lrr@{}}\toprule \textbf{Beträge in \euro{} pro Jahr} & \textbf{Benziner} & \textbf{Elektroauto}\\\midrule Jährliche Erlöse & 12.000 & 14.000\\ Jährliche Abschreibung $A_t$ & $-3.000$ & $-6.000$\\ Kapitalkosten (Zins) $Z_t$ & $-1.200$ & $-2.400$\\ Betriebskosten $B_t$ & $-2.000$ & $-200$\\ Verbrauchskosten $V_t$ & $-4.000$ & $-1.000$\\\midrule \textbf{Jahresgewinn} & \textbf{1.800} & \textbf{4.400}\\\bottomrule \end{tabular} \end{center} \end{frame} % PPT 10 \begin{frame}{Statische Verfahren: Rentabilitätsrechnung} \small Gewinn nicht absolut, sondern im Verhältnis zum eingesetzten Kapital betrachten. \[ \text{Rentabilität}=ROI=\frac{EBIT}{\text{durchschnittlich gebundenes Kapital}} \] $ROI$ = Return on Investment\qquad $EBIT$ = Earnings Before Interest and Taxes Rentabilität kann mit anderen Anlagemöglichkeiten verglichen werden. \begin{center}\ra{1.8} \begin{tabular}{@{}lrr@{}}\toprule & \textbf{Benziner} & \textbf{Elektroauto}\\\midrule $EBIT=pQ_t-A_t-V_t-B_t$ & 3.000\,\euro{} & 6.800\,\euro{}\\ Durchschnittliches Kapital $\frac{I_0+R_T}{2}$ & 15.000\,\euro{} & 30.000\,\euro{}\\ $ROI$ & $20\,\%$ & $22{,}7\,\%$\\\bottomrule \end{tabular} \end{center} \end{frame} % PPT 11; correct equality in payback definition to >=, retain original values. % Clarification needed: imputed interest is not a payment. The original numbers % require Z_t to represent actual interest paid; stated explicitly below. \begin{frame}{Statische Verfahren: Amortisationsrechnung} \small Amortisationsdauer: Zeit, in der das investierte Kapital durch die jährlichen Rückflüsse (Cashflows) zurückgewirtschaftet wird. \[ T_A=\frac{I_0}{CF}\qquad\text{bei konstantem Cashflow (unterjährig interpoliert)} \] \begin{center}\small\ra{1.05} \begin{tabular}{@{}lrr@{}}\toprule \textbf{Beträge in \euro{} pro Jahr} & \textbf{Benziner} & \textbf{Elektroauto}\\\midrule Jährliche Erlöse & 12.000 & 14.000\\ Zinszahlungen $Z_t$ & $-1.200$ & $-2.400$\\ Betriebskosten $B_t$ & $-2.000$ & $-200$\\ Verbrauchskosten $V_t$ & $-4.000$ & $-1.000$\\\midrule Cashflow $CF_t$ & 4.800 & 10.400\\ \textbf{Amortisationsdauer $T_A$ (Jahre)} & \textbf{6,25} & \textbf{5,77}\\\bottomrule \end{tabular} \end{center} {\footnotesize Nur \textbf{zahlungswirksame} Beiträge zählen zum Cashflow; Abschreibungen nicht. Hier sind die Zinsen als tatsächliche Zahlungen angenommen, nicht als kalkulatorische Zinsen.} \end{frame} \section{Zeitwert des Geldes} % PPT 12 \begin{frame}{Zeitwert des Geldes} \alert{Was wäre Ihnen lieber: 1\,000\,\euro{} heute oder 1\,000\,\euro{} in 3 Jahren?} 1\,000\,\euro{} heute kann man mit einem Zinssatz von 5\,\% bei der Bank anlegen. Nach 3 Jahren hätte man: \[ 1\,000\,\euro{}\cdot(1+0{,}05)^3\approx1\,158\,\euro{} \] \medskip \textbf{Richtige Antwort:} Lieber das Geld heute nehmen und die Gelegenheit nutzen, es anzulegen! \medskip \alert{„Künftiges Geld ist weniger wert als heutiges.“} \end{frame} % PPT 13 \begin{frame}{Zeitwert des Geldes} \alert{Was wäre Ihnen lieber: 1\,000\,\euro{} heute oder 1\,300\,\euro{} in 5 Jahren?} Mit 1\,000\,\euro{} heute hätte man bei 5\,\% Zinsen nach 5 Jahren nur: \[ 1\,000\,\euro{}\cdot(1+0{,}05)^5\approx1\,276\,\euro{} \] \bigskip \textbf{Richtige Antwort:} Lieber auf die 1\,300\,\euro{} in 5 Jahren warten! \end{frame} % PPT 14; text previously embedded as a screenshot. \begin{frame}{Barwert und Diskontierung} Um Ausgaben und Einnahmen in verschiedenen Jahren vergleichbar zu machen, einigen wir uns auf einen bestimmten Zeitpunkt, um die Geldströme auszuwerten. Am einfachsten: der heutige Wert, der \alert{„Present Value“ oder Barwert}. Unter Berücksichtigung des \textbf{Kalkulationszinssatzes $i$} multiplizieren wir die Ausgaben oder Einnahmen im Jahr $t$ mit dem \textbf{Barwertfaktor} (auch Diskontierungsfaktor genannt): \[ \frac{1}{(1+i)^t} \] Damit haben wir den künftigen Geldfluss \textbf{diskontiert}. Spätere Ausgaben und Einnahmen sind aus heutiger Sicht bei positivem Zinssatz \alert{weniger wert}. \end{frame} % PPT 15; correction: 1000/1.05^3 = 863.84, not 863 rounded to nearest euro. \begin{frame}{Barwert und Diskontierung: Beispiel} Für unser Beispiel mit Kalkulationszinssatz $i=5\,\%$ können wir jetzt die Optionen einordnen: \begin{center}\ra{2.1} \begin{tabular}{@{}crl@{}}\toprule \textbf{Einnahme (\euro{})} & \textbf{Jahr} & \textbf{Barwert (\euro{})}\\\midrule 1.000 & 3 & $\displaystyle\frac{1\,000}{(1+0{,}05)^3}\approx863{,}84$\\ 1.000 & 0 & $\displaystyle\frac{1\,000}{(1+0{,}05)^0}=1\,000$\\ 1.300 & 5 & $\displaystyle\frac{1\,300}{(1+0{,}05)^5}\approx1\,018{,}58$\\\bottomrule \end{tabular} \end{center} \end{frame} % PPT 16 \begin{frame}{Zinsrechnung und Zinseszins} \begin{itemize} \item Berücksichtigung des \textbf{Zeitwerts des Geldes} durch Zinsrechnung \item Wert einer einmaligen Zahlung $K_0$ nach $T$ Perioden bei einem Zinssatz $i$ \item \textbf{Zinseszins:} Verzinsung der Zinsen aus vorherigen Jahren \end{itemize} \begin{align*} K_1&=K_0+iK_0=K_0(1+i)\\ K_2&=K_1+iK_1=K_0(1+i)^2\\[-2pt] &\ \vdots \end{align*} \begin{columns}[c] \begin{column}{.47\textwidth}\centering \alert{Aufzinsung}\[K_T=K_0(1+i)^T\] \end{column} \begin{column}{.47\textwidth}\centering \alert{Abzinsung / Diskontierung}\[K_0=\frac{K_T}{(1+i)^T}\] \end{column} \end{columns} \end{frame} % PPT 17; editable time axes, both values have matching sizes in each row. \begin{frame}{Zins- und Zinseszinsrechnung} \begin{columns}[c] \begin{column}{.34\textwidth} $K$ = Kapital\\$i$ = Zinssatz\\$T$ = Endzeitpunkt \medskip \alert{Aufzinsung:}\[K_T=K_0(1+i)^T\] \medskip \alert{Abzinsung:}\[K_0=K_T\frac{1}{(1+i)^T}\] \end{column} \begin{column}{.62\textwidth}\centering \begin{tikzpicture}[x=1cm,y=.8cm,font=\small,>=Stealth] \foreach \y in {0,-3.5}{ \draw[->,thick](-.3,\y)--(7,\y); \foreach \x/\t in {0/0,1/1,2/2,3/3,6/T}{\draw (\x,{\y+.07})--(\x,{\y-.07}) node[below] {$\t$};} \draw[->,very thick,blue!75!black] (0,\y)--(0,{\y+.8}) node[above left] {$K_0$}; \draw[->,very thick,TUred] (6,\y)--(6,{\y+2}) node[above right] {$K_T$}; } \draw[->,thick] (.2,1) to[bend left=10] (5.8,2.1); \node at (2.5,2.3) {Endwert (final value)}; \draw[->,thick] (5.8,-1.35) to[bend right=10] (.2,-2.5); \node at (2.7,-1.25) {Barwert (present value)}; \end{tikzpicture} \end{column} \end{columns} \end{frame} % PPT 18; analytical curves replace WMF. \begin{frame}{Barwert einer künftigen Zahlung} \centering \wgzinskurven{12.5cm}{6.3cm} \end{frame} % PPT 19 \begin{frame}{Aufzinsung von $T$ periodengleichen Zahlungen} \begin{columns}[c] \begin{column}{.44\textwidth}\small $K_T$ = Endwert des Kapitals\\ $g$ = Zahlung am Ende jeder Periode\\ $i$ = Kalkulationszins\\ $q=1+i$ = Zinsfaktor\\ $T$ = Endzeitpunkt \end{column} \begin{column}{.53\textwidth}\centering\wgrente{1}\end{column} \end{columns} \vspace{-.2cm} \begin{align*} K_1&=g,\qquad K_2=g+gq,\qquad K_3=g+gq+gq^2\\ K_T&=g\left(1+q+q^2+\cdots+q^{T-1}\right) =g\,\frac{q^T-1}{q-1} =g\,\frac{(1+i)^T-1}{i} \end{align*} {\small Geometrische Reihe; für $i=0$ gilt $K_T=Tg$.} \end{frame} % PPT 20 \begin{frame}{Abzinsung von $T$ periodengleichen Zahlungen} \begin{columns}[c] \begin{column}{.44\textwidth}\small $K_0$ = Barwert am Ende der 0. Periode\\ $g$ = Zahlung am Ende jeder Periode\\ $i$ = Kalkulationszins\\ $q=1+i$ = Zinsfaktor\\ $T$ = Endzeitpunkt \end{column} \begin{column}{.53\textwidth}\centering\wgrente{0}\end{column} \end{columns} \vspace{-.2cm} \begin{align*} K_0&=g\left(q^{-1}+q^{-2}+\cdots+q^{-T}\right)\\ &=g\,\frac{q^T-1}{q^T(q-1)} =g\,\frac{1-(1+i)^{-T}}{i} \end{align*} {\small Für $i=0$ gilt $K_0=Tg$.} \end{frame} \section{Kapitalwert und Photovoltaik-Beispiel} % PPT 21; use PV for discounted inflows and NPV for net value (avoid K0 ambiguity). \begin{frame}{Kapitalwertmethode als Grafik} \begin{columns}[c] \begin{column}{.44\textwidth} \alert{Ausgangssituation} \begin{itemize} \item Investition in Periode 0 \item Positive Zahlungen in Perioden 1 bis $T$ \end{itemize} \medskip \alert{Kapitalwertmethode} \begin{itemize} \item Alle Zahlungen auf Periode 0 diskontieren \item $NPV=-I_0+PV$ \item Wenn $NPV>0$, lohnt sich die Investition. \end{itemize} \end{column} \begin{column}{.53\textwidth}\centering \resizebox{.85\linewidth}{!}{\wgzahlungsstrom{0}}\\[.1cm] \resizebox{.85\linewidth}{!}{\wgzahlungsstrom{1}} \end{column} \end{columns} \end{frame} % PPT 22; financing interest must not be double-counted in project cash flows. \begin{frame}{Dynamisches Verfahren: Kapitalwertmethode} Der \alert{Kapitalwert} (auch Nettobarwert oder „Net Present Value“) eines Projekts ist die Summe der diskontierten Cashflows einschließlich der Anfangsinvestition: \[ NPV=\sum_{t=0}^{T}\frac{CF_t}{(1+i)^t} =-I_0+\sum_{t=1}^{T}\frac{CF_t}{(1+i)^t} \] \begin{center}\small \begin{tabular}{ll@{\qquad}ll} $NPV$ & Kapitalwert & $i$ & Kalkulationszins\\ $CF_t$ & Erwarteter Cashflow & $T$ & Kalkulatorische Projektlaufzeit \end{tabular} \end{center} \begin{itemize} \item Wenn $NPV>0$, lohnt sich die Investition beim gegebenen Zinssatz $i$. \item Wenn $NPV<0$, lieber mit einer Rendite von $i$ woanders investieren. \item Bei vergleichbaren Investitionsalternativen ist ein höherer $NPV$ vorteilhafter. \end{itemize} {\footnotesize Gesamtprojekt: Cashflows vor Finanzierung; Finanzierungskosten werden durch $i$ berücksichtigt, nicht zusätzlich als Zinsabzug im Cashflow.} \end{frame} % PPT 23; clarify NPV=0 implies rate equals IRR, not NPV itself equals IRR. \begin{frame}{Kapitalwertmethode: Interpretation} \begin{itemize} \item \alert{$NPV=0$:} Investor erhält sein eingesetztes Kapital zurück und eine Verzinsung der ausstehenden Beträge in Höhe des Kalkulationszinssatzes. Kein Vorteil gegenüber einer Anlage am Kapitalmarkt zum gleichen risikoäquivalenten Zinssatz. Dieser Zinssatz entspricht einem internen Zinsfuß. \medskip \item \alert{$NPV>0$:} Investor erhält sein Kapital zurück und eine Verzinsung der ausstehenden Beträge über dem Kalkulationszinssatz. \medskip \item \alert{$NPV<0$:} Die Investition kann eine Verzinsung des eingesetzten Kapitals zum Kalkulationszinssatz nicht gewährleisten. \medskip \item \textbf{Vergleich von Alternativen:} Größter Kapitalwert zeigt die vorteilhafteste auf. Kapitalwerte voneinander unabhängiger Investitionen können aufsummiert werden, jeweils mit passendem Kalkulationszins. \end{itemize} \end{frame} % PPT 24; supplied hypothetical inputs preserved, not presented as market quotes. \begin{frame}{Beispiel: Photovoltaikanlage} Ein Unternehmen überlegt sich, ob es in eine Photovoltaikanlage auf dem Dach investiert. Die Kennzahlen: \begin{columns}[c] \begin{column}{.53\textwidth}\small\ra{1.35} \begin{tabularx}{\textwidth}{@{}Xr@{}}\toprule Größe & 100\,kW\\ Spezifische Investitionskosten & 800\,\euro{}/kW\\ Betriebskosten & 20\,\euro{}/kW/a\\ Einspeisetarif & 0,1\,\euro{}/kWh\\ Volllaststunden & 1\,000\,h/a\\ Dauer der Vergütung & 20 Jahre\\\bottomrule \end{tabularx} \end{column} \begin{column}{.43\textwidth}\centering \includegraphics[width=\linewidth]{wg5-pv-rottweil.jpeg} \end{column} \end{columns} \medskip Das Unternehmen kann sein Geld mit ähnlichem Risiko mit einer Rendite von \textbf{5\,\%} woanders anlegen. \alert{Lohnt es sich, in die Photovoltaikanlage zu investieren?} \source{Foto: \hrefc{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:PV_Anlage_auf_der_Rottweiler_Stadthalle.jpg}{Nico Pudimat}, gemeinfrei} \end{frame} % PPT 25; correction: do not put a rounded factor (12.5) in an exact equality. \begin{frame}{Beispiel: Photovoltaikanlage -- Kapitalwert} \small Alle Cashflows (Kosten und Erlöse) in \euro{}: \begin{center}\small\ra{1.2}\setlength{\tabcolsep}{7pt} \begin{tabular}{@{}lrrrrcr@{}}\toprule \textbf{Jahr $t$} & \textbf{0} & \textbf{1} & \textbf{2} & \textbf{3} & $\cdots$ & \textbf{20}\\\midrule Investitionskosten $I_t$ & 80.000 & 0 & 0 & 0 & & 0\\ Betriebskosten $B_t$ & 0 & 2.000 & 2.000 & 2.000 & & 2.000\\ Umsatzerlöse $pQ_t$ & 0 & 10.000 & 10.000 & 10.000 & & 10.000\\\midrule Cashflow $CF_t$ & $-80.000$ & 8.000 & 8.000 & 8.000 & & 8.000\\ Diskontierungsfaktor & 1 & $\frac{1}{1{,}05}$ & $\frac{1}{1{,}05^2}$ & $\frac{1}{1{,}05^3}$ & & $\frac{1}{1{,}05^{20}}$\\\bottomrule \end{tabular} \end{center} \[NPV=-80\,000+8\,000\sum_{t=1}^{20}\frac{1}{1{,}05^t}\approx\mathbf{19\,698\,\text{\euro{}}}\] \alert{Schlussfolgerung: Es lohnt sich, in die Photovoltaikanlage zu investieren!} \end{frame} % PPT 26; correct rounding: -1454.82 -> -1455 (original -1454). \begin{frame}{Beispiel: Photovoltaikanlage -- Einfluss des Zinssatzes} \alert{Vorsicht!} Die Rechnung ist gegenüber Änderungen des Zinssatzes sehr sensibel, z.\,B. mit $i=8\,\%$: \begin{align*} NPV&=-80\,000+8\,000\,\frac{1-1{,}08^{-20}}{0{,}08}\\ &\approx\mathbf{-1\,455\,\text{\euro{}}} \end{align*} \bigskip \alert{Schlussfolgerung: Es lohnt sich bei diesem Kalkulationszins nicht mehr, in die Photovoltaikanlage zu investieren.} \end{frame} % PPT 27 \begin{frame}{Rentenbarwertfaktor} \textbf{Spezialfall:} Stets gleiche Zahlungen pro Periode während der Nutzungsdauer: $CF_t=CF$ für $t=1,\ldots,T$. \begin{align*} NPV&=-I_0+\sum_{t=1}^{T}\frac{CF}{(1+i)^t} =-I_0+CF\underbrace{\sum_{t=1}^{T}\frac{1}{(1+i)^t}}_{RBF_{i,T}}\\ &=-I_0+CF\cdot RBF_{i,T} \end{align*} \[ \boxed{RBF_{i,T}=\frac{1-(1+i)^{-T}}{i}} \] Für die Kapitalwertmethode lohnt sich eine Investition, wenn $NPV>0$, also: \[ CF\cdot RBF_{i,T}>I_0 \] \end{frame} % PPT 28; retain geometric-series derivation, x=discount factor, q=1+i above. \begin{frame}{Rentenbarwertfaktor: Formel} Geometrische Reihe mit $x=(1+i)^{-1}$ (für $i>0$ gilt $0i$, lohnt sich die Investition. \item Bei sich ausschließenden Projekten ist ein höherer $IRR$ nicht immer besser; maßgeblich ist der Kapitalwert beim passenden Kalkulationszins. \end{itemize} \textbf{Photovoltaik-Beispiel:} $I_0=80\,000$, $CF=8\,000$, $T=20$. \[0=-80\,000+8\,000\,RBF_{IRR,20} \quad\Rightarrow\quad RBF_{IRR,20}=10\] \[\boxed{IRR\approx7{,}75\,\%}\] \end{frame} % PPT 31; analytical NPV curve, exact root approx. 11.5355%. \begin{frame}{Interner Zinsfuß: Beispiel} \begin{columns}[c] \begin{column}{.37\textwidth}\small \begin{tabular}{@{}ll@{}} $I_0$ & 5 Mio.\,\euro{}\\ $oc$ & 200\,000\,\euro{}/a\\ $Q$ & 500\,000 Einheiten/a\\ $p$ & 1,70\,\euro{}/Einheit\\ $T$ & 20 Jahre \end{tabular} \[CF=pQ-oc=650\,000\,\text{\euro{}/a}\] \[RBF_{IRR,20}=\frac{5\,000\,000}{650\,000}\] \[\textcolor{TUred}{IRR\approx11{,}54\,\%}\] \end{column} \begin{column}{.60\textwidth}\centering \begin{tikzpicture} \begin{axis}[width=7.9cm,height=5.9cm,xmin=7,xmax=13,ymin=-600,ymax=2100, xlabel={Zinssatz (\%)},ylabel={Kapitalwert (1\,000\,\euro{})}, axis lines=left,grid=major,grid style={black!10},domain=7:13,samples=100, tick label style={font=\small}] \addplot[TUred,very thick] {-5000+650*(1-(1+x/100)^(-20))/(x/100)}; \addplot[black,thin] coordinates {(7,0)(13,0)}; \addplot[only marks,black,mark=*] coordinates {(11.5355,0)}; \node[anchor=south east,font=\small] at (axis cs:11.5,150) {$IRR$}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{column} \end{columns} \end{frame} % PPT 32 \begin{frame}{Dynamisches Verfahren: Annuitätenmethode} Vergleich von Investitionsprojekten anhand der \alert{Annuität}: einer Zahlung konstanter Höhe in gleichmäßigen zeitlichen Abständen. \begin{align*} \text{Kapitalwertmethode:}\quad &NPV=-I_0+CF\cdot RBF_{i,T}>0?\\ \text{Annuitätenmethode:}\quad &-\frac{I_0}{RBF_{i,T}}+CF=-I_0\,ANF_{i,T}+CF>0? \end{align*} Wir verteilen die Investition auf periodengleiche Zahlungen über die Nutzungsdauer anhand des Kalkulationszinses (wie bei einem Immobilienkredit), um sie mit den Zahlungen $CF$ zu vergleichen. Der \textbf{Annuitätenfaktor} ist der Kehrwert des Rentenbarwertfaktors: \[\boxed{ANF_{i,T}=\frac{1}{RBF_{i,T}}=\frac{i(1+i)^T}{(1+i)^T-1}}\] \end{frame} % PPT 33; all original rows, recalculated to 3 decimals; part 1. \begin{frame}{Annuitätenfaktor: Tabelle (1/2)} \centering \small $ANF_{i,T}=\frac{i(1+i)^T}{(1+i)^T-1}$\qquad Zinssatz $i$ in Prozent \medskip \footnotesize\ra{1.2}\setlength{\tabcolsep}{5pt} \begin{tabular}{@{}r*{10}{r}@{}}\toprule \textbf{Jahre} & 3 & 3,5 & 4 & 4,5 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\\midrule 1 & 1,030 & 1,035 & 1,040 & 1,045 & 1,050 & 1,060 & 1,070 & 1,080 & 1,090 & 1,100\\ 2 & 0,523 & 0,526 & 0,530 & 0,534 & 0,538 & 0,545 & 0,553 & 0,561 & 0,568 & 0,576\\ 3 & 0,354 & 0,357 & 0,360 & 0,364 & 0,367 & 0,374 & 0,381 & 0,388 & 0,395 & 0,402\\ 4 & 0,269 & 0,272 & 0,275 & 0,279 & 0,282 & 0,289 & 0,295 & 0,302 & 0,309 & 0,315\\ 5 & 0,218 & 0,221 & 0,225 & 0,228 & 0,231 & 0,237 & 0,244 & 0,250 & 0,257 & 0,264\\ 6 & 0,185 & 0,188 & 0,191 & 0,194 & 0,197 & 0,203 & 0,210 & 0,216 & 0,223 & 0,230\\ 7 & 0,161 & 0,164 & 0,167 & 0,170 & 0,173 & 0,179 & 0,186 & 0,192 & 0,199 & 0,205\\ 8 & 0,142 & 0,145 & 0,149 & 0,152 & 0,155 & 0,161 & 0,167 & 0,174 & 0,181 & 0,187\\ 9 & 0,128 & 0,131 & 0,134 & 0,138 & 0,141 & 0,147 & 0,153 & 0,160 & 0,167 & 0,174\\ 10 & 0,117 & 0,120 & 0,123 & 0,126 & 0,130 & 0,136 & 0,142 & 0,149 & 0,156 & 0,163\\ 11 & 0,108 & 0,111 & 0,114 & 0,117 & 0,120 & 0,127 & 0,133 & 0,140 & 0,147 & 0,154\\ \bottomrule\end{tabular} \end{frame} % PPT 33; all original rows, recalculated to 3 decimals; part 2. \begin{frame}{Annuitätenfaktor: Tabelle (2/2)} \centering \small $ANF_{i,T}=\frac{i(1+i)^T}{(1+i)^T-1}$\qquad Zinssatz $i$ in Prozent \medskip \footnotesize\ra{1.2}\setlength{\tabcolsep}{5pt} \begin{tabular}{@{}r*{10}{r}@{}}\toprule \textbf{Jahre} & 3 & 3,5 & 4 & 4,5 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\\midrule 12 & 0,100 & 0,103 & 0,107 & 0,110 & 0,113 & 0,119 & 0,126 & 0,133 & 0,140 & 0,147\\ 13 & 0,094 & 0,097 & 0,100 & 0,103 & 0,106 & 0,113 & 0,120 & 0,127 & 0,134 & 0,141\\ 14 & 0,089 & 0,092 & 0,095 & 0,098 & 0,101 & 0,108 & 0,114 & 0,121 & 0,128 & 0,136\\ 15 & 0,084 & 0,087 & 0,090 & 0,093 & 0,096 & 0,103 & 0,110 & 0,117 & 0,124 & 0,131\\ 20 & 0,067 & 0,070 & 0,074 & 0,077 & \textcolor{TUred}{\textbf{0,080}} & 0,087 & 0,094 & 0,102 & 0,110 & 0,117\\ 25 & 0,057 & 0,061 & 0,064 & 0,067 & 0,071 & 0,078 & 0,086 & 0,094 & 0,102 & 0,110\\ 30 & 0,051 & 0,054 & 0,058 & 0,061 & 0,065 & 0,073 & 0,081 & 0,089 & 0,097 & 0,106\\ 35 & 0,047 & 0,050 & 0,054 & 0,057 & 0,061 & 0,069 & 0,077 & 0,086 & 0,095 & 0,104\\ 40 & 0,043 & 0,047 & 0,051 & 0,054 & 0,058 & 0,066 & 0,075 & 0,084 & 0,093 & 0,102\\ 45 & 0,041 & 0,044 & 0,048 & 0,052 & 0,056 & 0,065 & 0,073 & 0,083 & 0,092 & 0,101\\ 50 & 0,039 & 0,043 & 0,047 & 0,051 & 0,055 & 0,063 & 0,072 & 0,082 & 0,091 & 0,101\\ \bottomrule\end{tabular} \end{frame} % PPT 34; common scale and notation for the three representations. \begin{frame}{Vergleich: Kapitalwertmethode / Annuitätenmethode} \begin{columns}[c] \begin{column}{.48\textwidth}\small \textbf{Ausgangssituation:} Investition in Periode 0, periodengleiche positive Zahlungen in Perioden 1 bis $T$. \vspace{1.1cm} \textbf{Kapitalwertmethode:} Alle Zahlungen auf Periode 0 diskontieren und Nettobarwert bilden: $NPV=-I_0+PV$. \vspace{1.1cm} \textbf{Annuitätenmethode:} Investition in eine periodengleiche Annuität umwandeln und mit anderen Zahlungen vergleichen. \end{column} \begin{column}{.48\textwidth}\centering \resizebox{.70\linewidth}{!}{\wgzahlungsstrom{0}}\\[-.15cm] \resizebox{.70\linewidth}{!}{\wgzahlungsstrom{1}}\\[-.15cm] \resizebox{.70\linewidth}{!}{\wgzahlungsstrom{2}} \end{column} \end{columns} \end{frame} % PPT 35; use full-precision factor before rounding (original 6400 / 1600). \begin{frame}{Annuitätenmethode: Photovoltaik-Beispiel} Beispiel Photovoltaikanlage: $I_0=80\,000\,\euro{}$, $CF=8\,000\,\euro{}/a$, $T=20$ Jahre. \begin{align*} \text{Annuitätenfaktor:}\qquad ANF_{0{,}05;20}&=\frac{0{,}05\cdot1{,}05^{20}}{1{,}05^{20}-1}\approx0{,}08024\\ \text{Annuität der Investition:}\qquad I_0\,ANF&\approx6\,419\,\text{\euro{}/a}\\ \text{Jährlicher Überschuss:}\qquad CF-I_0\,ANF&\approx1\,581\,\text{\euro{}/a}>0 \end{align*} \medskip \alert{Es lohnt sich, in die Photovoltaikanlage zu investieren!} \end{frame} % PPT 36; retained 84 EUR/MWh result, refined rounding to 84.19. \begin{frame}{„Levelised Cost of Electricity“ (LCOE)} Mit der Annuität kann man die \alert{Stromgestehungskosten (LCOE)} bilden, d.\,h. die durchschnittlichen Kosten pro MWh gelieferten Stroms. \begin{align*} \text{Kosten pro Jahr}&=I_0\,ANF+B\approx6\,419+2\,000=8\,419\,\text{\euro{}/a}\\ \text{Energie pro Jahr}&=100\,\text{kW}\cdot1\,000\,\text{h/a}=100\,000\,\text{kWh/a}\\ LCOE&=\frac{\text{Kosten pro Jahr}}{\text{Energie pro Jahr}} \approx0{,}0842\,\text{\euro{}/kWh}=84{,}2\,\text{\euro{}/MWh} \end{align*} \begin{itemize} \item Vergleich mit Einspeisetarif 0,1\,\euro{}/kWh: Es lohnt sich zu investieren. \item Mit LCOE kann man unterschiedliche Technologien (Kohle, Gas, Wind, PV) vergleichen. \item Aber aufpassen: \textbf{LCOE berücksichtigt die Variabilität nicht!} \end{itemize} \end{frame} % PPT 37; historical graphic retained, no unsupported claim of current costs. \begin{frame}{„Levelised Cost of Electricity“: Entwicklung 2009--2020} \centering \includegraphics[width=12cm,height=6.1cm,keepaspectratio]{wg5-lcoe-2009-2020.png} \source{\hrefc{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:20201019_Levelized_Cost_of_Energy_(LCOE,_Lazard)_-_renewable_energy.svg}{RCraig09 / Lazard}, \hrefc{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/}{CC BY-SA 4.0}; Version bis 2020} \end{frame} \section{Grenzen, Zeithorizonte und Inflation} % PPT 38 \begin{frame}{Fehlerquellen bei der Investitionsrechnung} \begin{itemize} \item Vollständige Cashflow-Zahlungsreihe der zu betrachtenden Investition erfassen \medskip \item Eventuell: Erfassung von Anschlussinvestitionen \medskip \item Es müssen alle Zahlungen ausgeklammert bleiben, die nicht von der Entscheidung betroffen sind. \medskip \item Was ist der „richtige“ Kalkulationszins?\\ (Opportunitätskosten; Berücksichtigung von Risiko) \end{itemize} \end{frame} % PPT 39; curve intentionally repeated here to explain the long-horizon issue. \begin{frame}{Warnung: Diskontierung über lange Zeiten} Über lange Zeithorizonte kann die Diskontierung einen großen Effekt haben. \begin{columns}[c] \begin{column}{.59\textwidth}\centering \wgzinskurven{8.2cm}{5.2cm} \end{column} \begin{column}{.38\textwidth}\small \begin{itemize} \item Langfristige Vorteile fallen kaum ins Gewicht, z.\,B. Einnahmen von langlebigen Kraftwerken oder Effizienzmaßnahmen. \item Langfristige Kosten werden auch abgeschwächt, z.\,B. Rückbau, Entsorgung, Klimaschäden. \end{itemize} \medskip \alert{Umstrittenes Thema!} \end{column} \end{columns} \end{frame} % PPT 40, editable original UBA 2024 table; not replaced by newer estimates. % Clarify pure time preference is a component of social discounting, not its synonym. \begin{frame}{Klimaschäden: Was kostet eine ausgestoßene Tonne CO$_2$?} Hier kann der Diskontierungszinssatz eine große Rolle spielen! Eine Komponente ist die \textbf{reine Zeitpräferenzrate}: Wie gewichten wir die Wohlfahrt künftiger Generationen? \medskip \textbf{UBA-Empfehlung zu den Klimakosten (Stand 2024)} \small\ra{1.8} \begin{tabularx}{\textwidth}{@{}Xrrr@{}}\toprule \textbf{Euro\textsubscript{2024} je Tonne CO$_2$} & \textbf{2024} & \textbf{2030} & \textbf{2050}\\\midrule 1\,\% reine Zeitpräferenzrate:\newline Höhergewichtung der Wohlfahrt der heutigen gegenüber künftigen Generationen & 300 & 335 & 435\\ 0\,\% reine Zeitpräferenzrate:\newline Gleichgewichtung der Wohlfahrt der Generationen & 880 & 940 & 1.080\\\bottomrule \end{tabularx} \source{\hrefc{https://www.umweltbundesamt.de/daten/umwelt-wirtschaft/gesellschaftliche-kosten-von-umweltbelastungen}{Umweltbundesamt}, Methodenkonvention 3.2 (2024)} \end{frame} % PPT 41; correct hidden equal-lifetime assumption: NPV itself can compare % different lifetimes, but replacement strategies need a common horizon. \begin{frame}{Ketten-NPV} Beim Vergleich wiederholbarer Investitionen müssen wir einen \textbf{gemeinsamen Betrachtungszeitraum} festlegen. Beispiel: Projekt A hat eine Lebensdauer von 5 Jahren und Kapitalwert $NPV_A$, Projekt B von 10 Jahren und $NPV_B$. Was passiert nach Ablauf von A? \alert{Lösung: Kettenkapitalwert.} Wir nehmen an, dass nach Ende der Nutzungsdauer das Projekt durch ein Nachfolgeprojekt ersetzt wird. Bei einmaliger identischer Reinvestition zum Zeitpunkt $T$: \[ NPV_{0\rightarrow1}=NPV_0+NPV_1^{\text{(abgezinst)}} =NPV_0+\frac{NPV_0}{(1+i)^T} \] In unserem Beispiel vergleichen wir $NPV_B$ (Lebensdauer 10 Jahre) mit \[NPV_A+\frac{NPV_A}{(1+i)^5}\] (Projekt A mit Reinvestition nach 5 Jahren für die folgenden 5 Jahre). \end{frame} % PPT 42, split graph and explanation so both remain legible. \begin{frame}{Inflation und Kaufkraft} \begin{itemize} \item \alert{Inflation oder Teuerung} ist die Erhöhung der Preise von Gütern und Dienstleistungen, gemessen z.\,B. durch die jährliche Preisänderung eines bestimmten Warenkorbs. \item Inflation bedeutet eine \alert{Minderung der Kaufkraft des Geldes}. \item Für Investitionen kann man um Inflation korrigieren (Inflationsbereinigung): \end{itemize} \[\text{Realzins}\approx\text{Nominalzins}-\text{Inflationsrate}\] Korrekte Beziehung: \[1+\text{Nominalzins}=(1+\text{Realzins})\,(1+\text{Inflationsrate})\] \end{frame} % PPT 42, original graph. The supplied image contains no underlying citation. \begin{frame}{Inflation in Deutschland: 2006--2023} \centering \includegraphics[width=11cm,height=6cm,keepaspectratio]{wg5-inflation-deutschland.png} \source{Historische Grafik aus Originalfolien (2006--2023)} \end{frame} % PPT 43; all 17 values from original Statista / World Bank chart, % recreated as an editable landscape chart so labels are readable on a slide. \begin{frame}{Inflation weltweit: ausgewählte Länder 2018} \centering \begin{tikzpicture} \begin{axis}[width=13.5cm,height=6.5cm,xbar,bar width=5pt, xmin=0,xmax=34,ymin=.4,ymax=17.6,y dir=reverse, xlabel={Jährliche Verbraucherpreisinflation (\%)}, ytick={1,...,17},yticklabels={Iran*,Türkei,Nigeria,Indien,Brasilien,Russland,USA,Großbritannien,China,Frankreich,Deutschland,Spanien,Südkorea,Italien,Japan,Irland,Singapur}, axis lines*=left,xtick={0,5,10,15,20,25,30}, xmajorgrids,grid style={black!10}, tick label style={font=\scriptsize}, nodes near coords,point meta=x, every node near coord/.append style={font=\scriptsize,/pgf/number format/use comma}] \addplot[fill=orange!85!black,draw=none] coordinates { (29.9,1)(16.3,2)(12.1,3)(4.9,4)(3.7,5)(2.9,6)(2.4,7)(2.3,8) (2.1,9)(1.9,10)(1.7,11)(1.7,12)(1.5,13)(1.1,14)(1.0,15)(.5,16)(.4,17)}; \end{axis} \end{tikzpicture} \source{World Bank / Statista, 2018; Daten aus Originalgrafik. * Iran: vorläufig} \end{frame} % PPT 44 \begin{frame}{Inflation und Kaufkraft: Arbeitszeit für den Konsum} \centering \includegraphics[height=6.3cm]{wg5-kaufkraft-1948-2007.png} \source{IW Köln (2008); Daten: Statistisches Bundesamt, IAB; Grafik aus Originalfolien} \end{frame} \end{document}